kimsekim

Ölüm... Ne güzel bir soru! "hayat bir okuldur" lafına da uyuyor.

Kareleri şöyle numaralandırırsak: * A B C D E 1 2 3 4 5 Top, B5'te kalıyor. A kolonunun sağ kenarını, E kolonunun sol kenarıyla birleştirirsek (kağıdı kıvırıp içi boş bir silindir elde etmek üzere) kolay çözülüyor. Mesela A1'den başlayıp, A2 A3 A4 A5 E5 E4 E3 E2 E1 D1 D2 D3 D4 D5 C5 C4 C3 C2 C1 B1 B2 B3 B4 B5. Bu meşru bir çözüm olur mu?

Matematiği ne kadar bilim olarak görebiliriz bilemiyorum (bilen varsa açıklayabilir belki) Çünkü diğer bilimler gibi teori kurma, deney yapma, deney sonuçlarıyla bu teoriyi destekleme veya yalanlama vb. cinsten süreçlerle ilerlemiyor. Kabul etmiş olduğu birtakım aksiyomlar var, çok daha soyut bir iç tutarlılık gözetiyor diğer bilimlerden. Bunun için matematiğin kabul ettiği/üzerinde işlemler yaptığı şeylerin gerçekte varolması, diğer bilimlerce de kabul edilmesi diye bir şart olmamalı. Mesela matematiğin '5 cm' diye kullandığı şey fiziksel dünyada yok, ancak '5 cm uzunluğunda nesneler' var. Üçgen de yok, nokta da; fiziğin üçgen şeklinde kabul ettiği, noktasal davrandığını düşündüğü birtakım objeler var..

"Bu ikisi aynı coğrafyada yaşamıyor" olabilir mi cevap?

Tek bir oyla sonucun değişmeyeceğini öngörerek oy kullanmamak, oy kullanıldığı takdirde de, iktidar o oyla belirlenmişçesine pişmanlık duymak bana çelişkili görünüyor. Zaten oy kullanmasanız da, başa gelen iktidarın ceremesini çekecekler arasındasınız. Başkalarının belirlediği bir yönetimdense, kendi belirlediğiniz (%0.01lik şans da olsa) yönetimin sonuçlarına katlanmak daha mantıklı gibi. Hem bu ülkenin sizler gibi zeki insanların oylarına ihtiyacı var..

Sanırım haklısınız, birçok hesaplama bu 'normal dağılım'ı gözeterek yapılıyor ve olasılığı karıştırmamak lazım. Ben de sadece meraktan, 'normal dağılım'ın ne kadar olası olduğunu hesaplamaya çalıştım. Parayı 2 kere atarsak, birinde yazı birinde tura gelme olasılığı %50, bu çok güzel. Ama bu parayı atma sayısı büyüdükçe, yarısının yazı yarısının tura gelme olasılığı o kadar küçülüyor. Mesela 10 para atışında 5'inin yazı, 5'inin tura gelme olasılığı %25, tabi bu, 9 kere yazı 1kere tura gelme olasılığından (1/2^10) çok daha yüksek ama.. 100 kere atarsak ise %1'den daha küçük bir rakam elde ediyoruz. Hesapladığım formül, n kere para atışından, n/2 yazı n/2 tura gelme olasılığı: n!/((n/2)! * (n/2)! * 2^n) Belki ilginizi çeker. Daha önceki, 4 ailelik ülkenin olasılık sorusunun da hesaplanamaz olduğunu farkettim. Çünkü herhangi bir ailenin hiç erkek çocuk yapamayıp sonsuza kadar kız doğurma olasılığı var (gerçekte böyle birşey olmasa da soru zaten bir soyutlama üzerine kurulu), yani kümemiz tanımlı değil (Ancak doğurulabilecek maksimum çocuk sayısı kısıtı getirirsek hesaplanabilir). Soru sormayı pek beceremiyorum galiba..

Formül şöyle olacak bildiğim: ağırlık = yerçekimi (g) * kütle (m) Buradaki ağırlık dediğimiz şey aslında dünya tarafından maymuna uygulanan çekim kuvveti. Yerçekimi de bir tür ivme (yani dünyanın çekim alanına girmiş bir kütlenin saniyede kazanacağı hız miktarı = 9.8 m/s^2 ) Yani bu formül aslında F = m * a Maymun ilk başta hareketsiz, sonra tırmanmaya başlıyor. Yani bir hıza sahip oluyor, bu da ivmelenmesi demek. Yani ilk başta 20 kg = m*g kadar bir kuvvet uygularken ipe, tırmanmaya başladığı zaman m*g + m*a (ne kadar kadar hızlı başladıysa tırmanmaya, o kadar büyük) bir kuvvet uyguluyor. Bu da her halükarda fazladan bir kuvvet demek.

Ama maymun sallanırsa (hiç tırmanmıyor olsa bile), ip maymunu tam yukarıdan desteklemeyeceğinden, aşağı doğru olan 20 kg'lık ağırlığı dengelemek için, ipin üzerine daha büyük bir kuvvet uygulanır. Öyle ki bu uygulanan kuvveti bileşenlerine ayırırsak dikey olan 20 kg, yatay olan da, artık maymun ne kadar hızlı sallanıyorsa o kadar büyük olur; bunların birleşimi de 20 kg'dan fazladır. Sonuçta karşıdaki ağırlık yukarı çıkar. Benim tahminim böyle. Eğer sallanmadan yukarı tırmanıyorsa, -pek emin olmamakla birlikte- ağırlığın yine yukarı doğru bir hareket yapacağını düşünüyorum. Çünkü maymunun bir yere tutunması, ve kendini yukarı doğru çekmesi arasında, uyguladığı çekme kuvveti bakımından bir fark var. Eğer sürtünme yoksa, ağırlık, maymunun bu ilk hareketinden dolayı bir hız kazanır, maymun tırmanmayı kesse bile, hareket sürer gibi.

2-(1/n) ile 2 arasındaki farkın önemsiz olmadığını söylemek istemedim. Hatta bir matematikçi, bu sayıların birbirine yaklaşıyor olmasından çok, aralarındaki niteliksel ayrımları dikkate alabilirdi (eğer okuyan varsa bizi bilgilendirebilir belki) Benim parmak basmaya çalıştığım nokta, ortalamayı da işin içine katmakla aslında iki ayrı soru çözmeye çalışıyor olduğumuzdu. İkinci soruyu sorarken, belli şartları açıklığa kavuşturmam gerekiyordu. Belki araya bir üçüncü soru koyarak ayrımı netleştirtebilirim: A1 --> e (ilk ailenin ilk seferde bir erkek çocukları oluyor) A2 --> e A3 --> k -->e A4 --> k -->k --> k -->e 4 ailelik bir toplumda (bu tabi ki de başta bahsedilen, kızları değersiz gören toplum), çocukların bu cinsiyetlerle doğması olasılığı nedir? (aileler belirli değil, tek erkek çocuk A3'ün de olabilir vs.) Ve de bu olasılık, bu 4 ailenin hepsinin ilk seferde erkek bebek sahibi olmalarından farklı mıdır?

Toplam olarak, siyah bir yüz görme olasılığımız, (kartın çekilme olasılığı*belli bir yüzünün üstte olma olasılığı) diye yazarsak: (1/3)*(1/2) (birinci kartın bir yüzü) + (1/3)*(1/2) (birinci kartın diğer yüzü) + (1/3)*(1/2) (üçüncü kartın siyah yüzü) = 3/6 = 1/2 Kartı çevirdiğimiz zaman siyah bir yüz görüyorsak da, ilk olarak üstte olmuş olan yüz, birinci kartın birinci ya da ikinci yüzü olabilir, yani: (1/3)*(1/2) + (1/3)*(1/2) = 1/3 Sonuç: (1/3)/(1/2) = 2/3 Yani gördüğümüz bu siyah yüzün, birinci kartın yüzlerinden biri olma olasılığıdır bu. Nobody'nin sorusunun cevabı da, bu gördüğümüz siyah yüzün üçüncü kartın siyah yüzü olma olasılığıdır. O da: ((1/3)*(1/2)) / (1/2) = 1/3

Bu karşılaştığımız iki farklı cevap -ki ikiden daha fazla aslında olası cevaplar- galiba, sadece olasılığını bildiğimiz bir durum üzerinden ortalama hesaplamaya çalışmaktan kaynaklanıyor. Yani mesela, bir önceki iletimde verdiğim örnekteki 4 aileli toplumda ortalamayı hesapladım, ama çocukların cinsiyetleri çok farklı da olabilirdi, ailelerin ilk çocuklarının hiçbiri kız olmayabilirdi, vs. Farklı dizilişler de mümkün ve bu dizilişlerin de ayrı olasılığı var. Hesapladığımız 2 sayısı bir tür diziliş için geçerli -ki sanırım bu diziliş, olasılığı en yüksek olan- Çocuk sayısı ortalamasının 1 olduğu bir durum da mümkün, ama olasılığı daha düşük. Tahminimce 'ortalama çocuk sayısı' vs 'durum olasılığı' grafiğini çizersek, 2'nin yakınlarında tepe noktası bulunan biraz yamuk bir çan eğrıisi elde ederiz. Fazla mı matematiksel oldu bilmiyorum, ama yorum yazarsanız sevinirim, geliştirilmeye muhtaç bir fikir oldu.

Doğru, ortalama çocuk sayısı 2 çıkıyor. n'den bağımsız olması dikkat çekici bir durum bence. Ama bu sonuç, bir aileye kız çocuk atanınca elde ediliyor. Yani mesela 4 aile varsa, eşit olasılıkla çocuk atarsak: A1 --> e (ilk ailenin ilk seferde bir erkek çocukları oluyor) A2 --> e A3 --> k -->e A4 --> k -->k --> k -->e Burada 4. ailenin 3. çocuğu %50 olasılıkla erkek de olabilirdi. O zaman ortalama çocuk sayısını (2n-1)/n diye hesapladım. (sonuçta artan n'le birlikte 2'ye yaklaşıyor bu sayı da). Ve tabi 4. çocuk da kız olabilirdi, vs ama zannımca bu durum en dengelisi, karşılıksız koyduğumuz bebeklerin %50sinin kız, %50sinin erkek olması bakımından. Bir de, sanırım bizim aile sayımız, n=2a olarak ifade edilebilen bir sayı olmalı, yoksa hesap tutmuyor. (yukarıdaki 4. ailenin durumuyla karşılaşıyoruz birden fazla ailede)

Bir olası cevap daha var, o da benden olsun. Kızlarla erkeklerin sayısı eşit kalır. Bu ülkede x tane karı-koca çifti var diyelim. (birkaç basitleştirme yapıyorum burada: zinayı yok sayıyorum, boşanma, dul kaldıktan sonra evlenme, evlat edinme vs.yi de) Bunların hepsi çocuk yapıyorlar diyelim. (yapmayanlar varsa da eşit olan kız/erkek oranı bozulmayacaktır) Bunların x/2 tanesi erkek, x/2si de kız bebek sahibi olurlar. (Yine bir basitleştirme: bir bebeğin kız veya erkek olma olasılığı eşit, ilk, ikinci, üçüncü, vs. de olsa -ki gerçekte böyle değil sanırım, kız olma olasılığı biraz daha fazla x ve y kromozomlarının kimyasından dolayı-) Kız bebek sahibi olan x/2lik kesim birer tane daha bebek yaparlar. Yine olasılığı eşit alırsak x/4 tanesi erkek, x/4 tanesi kız olur bunların. İkişer kız sahibi olan x/4lük kesim üçüncü çocuklarını yapar, bunların da yarısı kız, yarısı erkek olur. vs.. Sonuçta erkek çocukların toplamı x/2 + x/4 + x/8 + ... kızların da x/2 + x/4 + x/8 + ... Yani eşit kalıyorlar. Ayrıca şöyle de düşünülebilir: Diyelim erkeklerin sayısı arttı. Daha az kız olduğundan dolayı bu erkeklerin hepsi kendine bir eş bulamayacak ve bir kısmı çocuk sahibi olamadan ölecektir. Sonuçta bu artış bir sonraki kuşağa aktarılamayacak, yani sayıları katlanarak ilerleyemeyecektir. (tekeşliliği varsayıyorum yine) Bence güzel bir soru, çünkü bu oranın eşit kalabileceğini tahmin etmezdim. Bir alternatif soru da şu olabilir: Bu toplumda bir ailenin sahip olduğu ortalama çocuk sayısı nedir? (cevabını vermiş oldum aslında ama...)

Güvercinler konusunda size katılıyorum, fakat helyum balonlarının durumu farklı gibi geliyor. Güvercinlerin tersine, balonlar uçmak için aşağıya doğru bir itme uygulamak zorunda değil (aşağıdan havanın ona bir kuvvet uygulaması gerekmez) çünkü zaten havadan daha hafifler. Yani 'balon' sorusunda olduğu gibi, hava daha kütleli olduğu için helyumdan daha aşağıda durur, kamyonun tabanına da daha az kuvvet uygulanır, ve biz de bu balonlarla yükü kolayca taşırız. Yanlış mı düşünüyorum?

Şöyle bir yanlış anlaşılma var gibi: İstenen birinci torbadan top çekme ihtimali değil, halihazırda çekilmiş bir topun nereden geldiğinin ihtimali. Mesela birinci torbadaki toplara küçük birer çarpı işareti koyalım, ikincidekilere de birer nokta. Ve biri çekmiş olduğu topu bize gösteriyor, top beyaz, ama işaretini göremiyoruz. Soru da şunu soruyor: Bu topun işaretinin çarpı olma olasılığı nedir? Burada durum farklılaşıyor, iki torbada da beyaz topun seçilme ihtimali aynı. Yani yine matematiksel gidecek olursak toplam beyaz top seçilme ihtimali ((1/2)*1)+((1/2)*)=1 Birinci torbadan beyaz top seçilme ihtimalini bu toplama bölersek: (1/2)/1=1/2 elde ediyoruz. Aynı durum herhangi diğer eşit ihtimallerde de olacaktı. Mesela ilk torbada 3 kırmızı, 1 beyaz; ikincide 6 kırmızı 2 beyaz olsaydı da seçip, beyaz olduğunu gördüğümüz topun ilk torbadan gelmiş olma ihtimali 1/2 olacaktı.

Öncelikle merhaba. Yeni üye oldum, bunun için ortaya atlamışlığımın kusuruna bakmayın. Bence de cevap 3/7 olmalı. 1/2 olamaz. Çünkü eğer ikinci torbada hiç beyaz top olmasaydı, beyaz topu ilk torbadan çekmiş olma olasılığımız 1/2 olmayacaktı. Ki, ikinci torbadaki topların birinin veya hepsinin beyaz olması farklı sonuçlar vermeyecek mi? Yani torbalardaki beyaz top sayısı önemli. Genel olarak beyaz top çekme olasılığımız 7/10 (3/5*1/2 ilk torbadan + 4/5*1/2 ikinciden) Ama elimizde beyaz top olduğunu görüyoruz, yani çekme işlemi tamamlanmış, ve 7/10 gerçekleşmiş, yani bu sayı bizim 1'imiz, yani yeni olasılığı hesaplarken 1 yerine bu sayıya böleceğiz. İlk torbadan çekme olasılığı 3/10 idi, sonuç (3/10)/(7/10) yani 3/7'dir. Ben böyle bir mantık kurdum, yorumlarınızı bekliyorum.