Zıplanacak içerik
profesör matematik hastası

Valla cevabı bilmesem çözecem diye çıldırırdım!

Önerilen İletiler

Bu kez daha zor olsun diye basamak sayısını vermiyorum(sorunun aslında da verilmemişti).Ayrıca bu bir TÜBİTAK kitabından alıntıdır.

Hangi sayınınson(birler) basamağındaki rakam başa (en yüksek basamağa) geçirilirse bu sayının iki katı olan sayı elde edilir? kolay gelsin :online2long::clover:

Bu iletiyi paylaş


İletiye ulaşan sekme (kopyala)
Diğer sitelerde paylaş

Sevgili "profesör matematik hastası",

 

Bir soruya verilen yanıtın istenilen şartları sağlayıp sağlamadığını anlamak için öncelikle yanıtı kontrol etmelisin ve yanıtın doğruluğunu buna göre değerlendirmelisin bence.

 

Ben de bu soruda istenilen sayının, senin bahsettiğin gibi, 17 basamaklı olamayacağını ispat etmeye çalışacağım, umarım sorduğun soruyu yanlış algılamamışımdır ve ispatta bir hatam olmaz:

 

Öncelikle çözümün, senin istediğin gibi, 17 basamaklı olduğunu varsayalım,

Bu durumdaki sayıyı:

 

"ABCDEFGHIJKLMNOPR"

 

şeklinde harfsel olarak gösterelim. Birler basamağı en yüksek basamağa (bu varsayıma göre 10^16 . haneye) geçirilmiş olan sayı, bu durumda: (------NOT: 10^16, 10 üzeri 16 anlamındadır.-------)

 

"RABCDEFGHIJKLMNOP"

 

olur. İkinci durumdaki sayının, ilk durumdaki sayının 2 katı olması isteniyor. Bu denklemi sayıların basamak çözümlü haliyle yazarsak:

 

(A*10^16 + B*10^15 + ....+O*10^2 + P*10^1 + R) *2 = (R*10^16+A*10^15+B*10^14+....+O*10^1+P)

 

şeklinde bir denklem elde edilir. Bu denklem açılırsa:

 

(A*2*10^16 + B*2*10^15 + ....+ P*2*10^1 + 2*R)= (R*10^16+A*10^15+B*10^14+....+O*10^1+P)

 

olur. Bu denklem, aynı harflerin katsayıları ortak paranteze alınacak şekilde düzeltilirse:

 

A*19*10^15 + B*19*10^14 + C*19*10^13 + ....N*19*10^2 + O*19*10^1 + P*19 = R *(10^16-2)

 

şekline dönüşür. Denklemin sol tarafını 19 parantezine alırsak:

 

19* (A*10^15 + B*10^14 + C*10^13 + ....N*10^2 + O*10^1 + P) = R *(10^16-2)

 

ve:

 

A*10^15 + B*10^14 + C*10^13 + ....N*10^2 + O*10^1 + P) = R* [ 10^16-2) / 19 ]

 

bulunur. Görüldüğü gibi denklemin sol tarafı R hariç istenilen sayıyı vermektedir. Buna göre, denklemin sol tarafının tamsayı olması gerekir ve bunun için de denklemin sağ tarafının tamsayı olması zorunludur. Denklemin sağ tarafının tam sayı olabilmesi içinde paydaki R *(10^16-2) ifadesinin 19'un bir katı olması gerekir. R bir rakam olduğuna ve 19'un bir böleni olmadığına göre (19 aynı zamanda asaldır), (10^16-2) sayısının 19'un katı olması gerekir. Ancak bu sayı 19'un bir tam katı değildir (19'a bölündüğünde sonuç, 526.... , 105.... formatında ondalık bir sayı çıkar).

 

Dolayısıyla soruda istenilen sayının 17 basamaklı olması mümkün değildir.

 

---------------------------------------------------------------------------------------

 

Ancak aynı soruyu 18 basamaklı olarak düşünüp çözersek (ara basamakları yukarıda yapılan işlem dizisine benzediği için atlıyorum):

 

"ABCDEFGHIJKLMNOPRS" şeklinde 18 basamaklı sayısı için:

 

19* (A*10^16 + B*10^15 + C*10^14 + ....O*10^2 + P*10^1 + R) = S *(10^17-2)

 

ve:

 

(A*10^16 + B*10^15 + C*10^14 + ....O*10^2 + P*10^1 + R) = S *[(10^17-2) / 19]

 

bulunur. Bu durumda , yukarıdaki düşünüş yoluna benzer biçimde, (10^17-2) sayısı 19'a bölündüğünde sonuç:

 

5263157894736842 şeklinde bir tam sayı olarak elde edilir. Bu halde denklemin son hali:

 

(A*10^16 + B*10^15 + C*10^14 + ....O*10^2 + P*10^1 + R) = S * 5263157894736842

 

olur. İstenilen sayının birler basamağı olan S'nin (2 <= S => 9 şeklinde) değişik değerleri için denklemi sonuçlandırırsak: (Burada (A*10^16 + B*10^15 + C*10^14 + ....O*10^2 + P*10^1 + R) sayısı 17 basamaklı "ABCDEFGHIJKLMNOPR" sayısını gösterir, bu sayının sonuna S eklersek başta kabul ettiğimiz gibi 18 basamaklı "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" sayısı gösterilir. Aşağıda S bir rakam olmak üzere, S'nin değişik değerleri için yukarıdaki denklemin sonuçlarına göre bulunacak 18 basamaklı sayılar yazılmıştır. S=1 değeri için işlem sağdaki işlem sonucu 16 haneli bir sayıyı göstereceğinden başta yaptığımız kabule göre geçersiz olur.)

 

 

S=2 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 105263157894736842

S=3 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 157894736842105263

S=4 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 210526315789473684

S=5 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 263157894736842105

S=6 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 315789473684210526

S=7 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 368421052631578947

S=8 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 421052631578947368

S=9 için "ABCDEFGHIJKLMNOPRS" = 473684210526315789

 

şeklinde 18 basamaklı sayılar bulunur ve bu sayıların hepsi soruda istenilen şartı sağlamaktadır (deneyebilirsiniz). mms_201 arkadaşımız S=9 için bulunan sonucu yazmış.

 

Ayrıca S'nin değişik değerleri için yukarıda bulunan sayıları incelerseniz; S'nin n. değeri için (n burada 2 ile 9 arasındaki herhangi bir sayı) bulunan bir sayının, (n-1). değeri için bulunan sayıyla benzeştiğini ve (n-1). değeri için bulunan sayıdaki herhangi bir n rakamından sonraki (burada n düzensizdir) hanelerden başlacak biçimde kaymalı bir sıra izlediğini görebilirsiniz. Mesela S=4 için bulunan sayıda yer alan ilk "5 rakamından" sonraki sayıları sırasıyla alırsak S=5 için bulunan sayıyı elde ederiz.

 

Denediğim ve ulaştığım başka bir sonuca göre de 18 basamaklıya kadar olan sayılar içerisinde soruda istenilen şartı sağlayan başka bir sayı bulunmamakta. 18 basamaktan büyük sayılar içerisinde bu şartı sağlayan olup olmadığını haliyle kontrol etmedim :)

 

Özetle (epey uzun oldu :) ), benim bulduğum yanıt sekiz tanedir ve yukarıda görülen bu sekiz sayı da 18 basamaklıdır.

Bu iletiyi paylaş


İletiye ulaşan sekme (kopyala)
Diğer sitelerde paylaş

'eureka' bu kadar detaylı açıklamadan sonra tebrik etmek lazım. Oldukça yoğun mesai harcamışsın ne demeli kutlarım

 

Bazı matematik sorularını ispat etmek uzun sürebiliyor, hatta sayfalar dolusu ispatlara sahip sorular da bulunmakta. Bunun yanında böyle bir soruya "açıklamalı bir yanıt" veriliyorsa; bence bu açıklama düzgünce yapılmalı, geçiştirilmemeli.

 

Ayrıca hiçbir paylaşımda harcanmış bir zaman yoktur bence (insan bu paylaşımlara mutlaka zaman ayırabilir diye düşünüyorum) :)

 

Teşekkür ederim myfacem.

Bu iletiyi paylaş


İletiye ulaşan sekme (kopyala)
Diğer sitelerde paylaş

Sorduğum soru için zaman harcayan buna kafa yoran herkese ve özellikle cevabını uzun uzun açıklayan eureka'ya fazladan teşekkür ederim.Ayrıca cevaplarınızı kontrol etmedim ama benim elimdeki cevap:

15789473692105263

Sanmıyorum ki ilgilenirsiniz ama belki merak eden olur diye küçük fermat teoremini yazmak isterim (ki yazsaydım sanırım elimdeki sonuç çıkabilirdi):

p asal bir sayı vea,p'nin katı olmayan tam sayı ise

p-1

a -1 [a üzeri (p-1) -1] p ile bölünebilir (a 0 olmamak üzere). Bunu açık bir şekilde yazmalıydım herkesten özür dilerim. :(:crying::clover:

Bu iletiyi paylaş


İletiye ulaşan sekme (kopyala)
Diğer sitelerde paylaş

Sorduğum soru için zaman harcayan buna kafa yoran herkese ve özellikle cevabını uzun uzun açıklayan eureka'ya fazladan teşekkür ederim.Ayrıca cevaplarınızı kontrol etmedim ama benim elimdeki cevap:

15789473692105263

Sanmıyorum ki ilgilenirsiniz ama belki merak eden olur diye küçük fermat teoremini yazmak isterim (ki yazsaydım sanırım elimdeki sonuç çıkabilirdi):

p asal bir sayı vea,p'nin katı olmayan tam sayı ise

p-1

a -1 [a üzeri (p-1) -1] p ile bölünebilir (a 0 olmamak üzere). Bunu açık bir şekilde yazmalıydım herkesten özür dilerim. :(:crying::clover:

 

Ben de profesör matematik hastası'na bu güzel soruyu sorup bizleri araştırmaya sevkettiği için teşekkür ederim; bu soru benim "küçük fermat teoremini" araştımamı sağladı.

 

profesör matematik hastası'nın doğru yanıt olarak verdiği sayıyı XP'nin hesap makinesinde (donatılar bölümünde) denedim ve verilen bu yanıtta bir yanlışlık olduğunu gördüm. Zaten daha önce de bu yanıtın 17 basamaklı olamayacağını matematiksel olarak ispatlamaya çalışmıştım. Belki yanıtın alındığı kaynakta bir yanlışlık olmuş olabilir diye düşünüyorum (ki benim verdiğim yanıtlardan s=3 için olanına çok benziyor).

 

Yanıtlar 18 basamaklı ve daha önce verdiğim gibidir. Düşünmeye ve araştırmaya sevkettiği için yeniden teşekkür ediyorum profesör matematik hastası'na (bu arada kullanıcı ismin çok uzun ya :) )

Bu iletiyi paylaş


İletiye ulaşan sekme (kopyala)
Diğer sitelerde paylaş

Ben de profesör matematik hastası'na bu güzel soruyu sorup bizleri araştırmaya sevkettiği için teşekkür ederim; bu soru benim "küçük fermat teoremini" araştımamı sağladı.

 

profesör matematik hastası'nın doğru yanıt olarak verdiği sayıyı XP'nin hesap makinesinde (donatılar bölümünde) denedim ve verilen bu yanıtta bir yanlışlık olduğunu gördüm. Zaten daha önce de bu yanıtın 17 basamaklı olamayacağını matematiksel olarak ispatlamaya çalışmıştım. Belki yanıtın alındığı kaynakta bir yanlışlık olmuş olabilir diye düşünüyorum (ki benim verdiğim yanıtlardan s=3 için olanına çok benziyor).

 

Yanıtlar 18 basamaklı ve daha önce verdiğim gibidir. Düşünmeye ve araştırmaya sevkettiği için yeniden teşekkür ediyorum profesör matematik hastası'na (bu arada kullanıcı ismin çok uzun ya :) )

Valla ben TÜBİTAK kitabının yalancısıyım.1983'ten biraz daha sonraları bu kitap basılmış.(Bu benim mat. öğretmenimin kitabı da).Lise 2 öğrencisi olmama rağmen matematiğe ve zeka sorularına hastayım(ve aşığım).Ondan adım bu kadar uzun.Liseli ismini kullanıyordum ama ileride de kullanabilmek için bu adı kullanıyorum.Ayrıca seni mutlu edebildiysem ne mutlu bana.Sevgilerle... :clover:

Bu iletiyi paylaş


İletiye ulaşan sekme (kopyala)
Diğer sitelerde paylaş
Misafir Misafir

valla sağlıyormu bilmiyom ama cevap doğru değil üzgünüm Ama çözmenize yararsa küçük fermat teoremi diye bir teorem var onu kullanabilirsiniz.

Enteresan

Bu iletiyi paylaş


İletiye ulaşan sekme (kopyala)
Diğer sitelerde paylaş

İletiniz moderatör kontrolünden geçtikten sonra sitede gösterilmeye başlanacaktır. Eğer buna maruz kalmak istemiyorsanız lütfen hemen bir ÜYE OLUNUZ.

Misafir
İletinizi misafir olarak gönderiyorsunuz. Eğer üye iseniz lütfen GİRİP YAPARAK gönderiniz.
Bu başlığa cevap yaz

×   Zengin metin olarak yapıştırıldı..   Onun yerine sade metin olarak yapıştır

  Only 75 emoticons maximum are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Önceki içeriğiniz geri getirildi..   Editörü temizle

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.


×

Önemli Bilgiler

Bu siteyi kullanmaya başladığınız anda kuralları kabul ediyorsunuz Kullanım Koşulu.